Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Przykład 1:

Rozwiążemy równanie

(1)

\( \frac{\partial\,z}{\partial\,x}+\frac{\partial\,z}{\partial\,y}=1. \)

Rozwiązanie

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

\( P=Q=R=1. \)

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

\( d\,x=d\,y=d\,z. \)

3. Całkując równość \( d\,x=d\,y , \) otrzymujemy pierwszą charakterystykę \( \psi^1:\,\,\,x-y=C_1. \) Całkując równość
\( d\,y=d\,z \) otrzymujemy drugą charakterystykę: \( \psi^2:\,\,\,z-y=C_2. \)

4. Obliczamy macierz Jacobiego

\( J=\frac{\partial(\psi^1,\,\psi^2)}{\partial(x,\,y,\,z)}=\left(\begin{array}{lll} 1 & -1 & 0 \\0 & -1 & 1 \end{array} \right). \)

Widać zatem, że \( J \) ma rząd stały równy 2. Wynika to z tego, że główne minory (odpowiednio rzędu 1 i 2 ) są niezerowe.

5. Zakładając że \( \Phi(t_1,\,t_2) \) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły, przedstawiamy rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej:

\( \Phi(x-y,\,\,z-y)=0. \)

Zakładając dodatkowo, że \( \partial \,\Phi(t_1,\,t_2)/\partial\,t_2\,\neq\,0, \) możemy rozwikłać tę funkcję względem drugiego argumentu, zapisując rozwiązanie w jawnej postaci:

\( z-y=\varphi(x-y) \,\,\, \Rightarrow \,\,\,z=y+\varphi(x-y), \)

gdzie \( \varphi(t) \) jest dowolną gładką funkcją jednej zmiennej.

6. Podstawiając rozwiązanie jawne do lewej strony równania, otrzymujemy:

\( \frac{\partial\,}{\partial\,x}\left( y+\varphi(x-y)\right)+\frac{\partial\,}{\partial\,y}\left( y+\varphi(x-y)\right)= \varphi(x-y)+1-\varphi(x-y)=1. \)

Zatem uzyskana funkcja spełnia rzeczywiście równanie wyjściowe, a ponieważ \( \varphi(t) \) jest dowolną funkcją różniczkowalną, jest ona rozwiązaniem ogólnym wskazanego problemu.

Zadanie 1:

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

(2)

\( x\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x}+y\,\frac{\partial\,z}{\partial\,y}=0. \)

Rozwiązanie:

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

\( P=x, \qquad Q=y, \qquad R=0. \)

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

\( \frac{d\,x}{x}=\frac{d\,y}{y}=\frac{d\,z}{0}. \)

3. Całkując równość \( \frac{d\,x}{x}=\frac{d\,y}{y}, \) otrzymujemy charakterystykę

\( \tilde\psi^1:\,\,\,\log{x}=\log{y}+\tilde{C_1}. \)

Używając oznaczenia \( \tilde {C_1}=\log{C_1}, \) można tę całkę przedstawić w postaci \( \psi^1:\,\,\,{x}/y={C_1}. \)

Całkowanie drugiej równości o postaci \( \hskip 0.3pc \frac{d\,x}{x}=\frac{d\,z}{0} \) wymaga komentarza. Jak wiadomo, dzielenie przez zero jest operacją niewłaściwą i dlatego, ściśle rzecz biorąc, prawa strona równości nie ma sensu. Możemy jednak napisać układ charakterystyczny w postaci równoważnego mu ukladu dynamicznego

\( \frac{d\,x}{d\,t}=x, \qquad \frac{d\,y}{d\,t}=y, \qquad \frac{d\,z}{d\,t}=0. \)

Ostatnie równanie całkuje się bezpośrednio, dając drugą charakterystykę \( \psi^2: z=C_2. \)

Drugą charakterystykę można również uzyskać, mnożac lewą i prawą stronę równości \( \frac{d\,x}{x}=\frac{d\,z}{0} \) przez zero.
Otrzymamy przy tym równość

\( 0\cdot \frac{d\,x}{x}=0\cdot \frac{d\,z}{0}. \)

Zera występujące w liczniku oraz mianowniku prawej strony możemy formalnie skrócić (pamiętajmy, że jest to ogólnie rzecz ujmując operaja niewłaściwa), natomiast lewa strona przy \( x \neq 0 \) daje nam zero. Wtedy otrzymujemy równanie \( d\,z=0 \), które daje charakterystykę \( \psi^2. \) Zatem w tym oraz analogicznych przypadkach, niewłaściwa operacja dzielenia zera przez zero pozwala uzyskać poprawny wynik.

4. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, obliczamy macierz Jakobiego

\( J=\frac{\partial(\psi^1,\,\psi^2)}{\partial(x,\,y,\,z)}=\left(\begin{array}{lll} 1/y & -x/y^2 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right). \)

Rząd tej macierzy jest równy 2 wszędzie za wyjątkiem osi \( OY \), na której macierz staje się nieokreślona. W pozostałych punktach przestrzeni \( R^3 \) charakterystyki są niezależne.

5. Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

(3)

\( z=\varphi\left(\frac{x}{y}\right). \)

6. Ze względu na to, że jedną z charakterystyk można uzyskać poprzez zastosowanie niewłasciwej operacji dzielenia zera przez zero, warto i w tym przypadku sprawdzić, czy uzyskana funkcja spełnia równanie ( 2 ). Podstawiając do lewej strony tego równania funkcję ( 3 ) otrzymamy:

\( \left(x\,\partial_x+y\,\partial_y \right)\,\varphi\left(\frac{x}{y}\right)=\varphi^\prime\left(\frac{x}{y}\right)\left(x \frac{1}{y}+y \frac{x}{-y^2} \right)=0, \)

tak więc funkcja ( 3 ) jest ogólnym rozwiązaniem równania ( 2 ).

Zadanie 2:

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

(4)

\( z\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x}-y\,\frac{\partial\,z}{\partial\,y}=0. \)

Rozwiązanie:

1. Identyfikujemy współrzędne pola wektorowego:

\( P=z, \qquad Q=-y, \qquad R=0. \)

2. Przechodzimy do postaci charakterystycznej:

\( \frac{d\,x}{z}=\frac{d\,y}{-y}=\frac{d\,z}{0}. \)

3. W tym przykładzie ważna jest kolejność całkowania. Najpierw musimy rozpatrzeć równanie zawierające różniczkę funkcji \( z:\hskip 0.3pc \) \( \frac{d\,y}{-y}=\frac{d\,z}{0}. \) Mnożąc lewą i prawą stronę przez zero, a następnie skracając formalnie zera w liczniku i mianowniku prawej strony, otrzymamy przy \( y \neq 0, \) równanie \( dz=0 \), które daje pierwszą charakterystykę \( \psi^1:\,\, z=C_1. \)

4. Rozpatrzmy teraz równanie \( \frac{d\,x}{z}=\frac{d\,y}{-y} \). Nie możemy go bezpośrednio scałkować, gdyż nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Możemy natomiast skorzystać z tego, że na poszukiwanej powierzchni całkowej równania zmienna \( z \) jest wielkością stałą. Wykorzystując to, otrzymujemy równanie \( \frac{d\,x}{C_1}=\frac{d\,y}{-y}. \) Całkując je dostaniemy charakterystykę \( \psi^2: \,\,x/z+\log{y}=C_2 \).

5. Obliczamy macierz Jacobiego

\( J=\frac{\partial(\psi^1,\,\psi^2)}{\partial(x,\,y,\,z)}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\\frac{1}{z} & \frac{1}{y} & -\frac{x}{z^2} \end{array} \right). \)

Rząd macierzy \( J \) wynosi 2 wszędzie, za wyjątkiem osi współrzędnych. Ogólne rozwiązanie równania ( 2 ) przedstawia się zatem w postaci uwikłanej za pomocą wzoru

(5)

\( \Phi(\frac{x}{z}+\log{y},\,\,z)=0. \)

6. Sprawdzamy, czy funkcja spełnia równanie

\( \left (z\partial_x-y\partial_y+0 \partial_z \right) \Phi=0, \)

równoważne równaniu wyjściowemu ( 4 ). Podstawiając ( 5 ) do powyższego równania otrzymujemy:

\( \left (z\partial_x-y\partial_y+0 \partial_z \right)\Phi(\frac{x}{z}+\log{y},\,\,z)=\Phi_1\cdot(z\,\frac{1}{z}-y\frac{1}{y})=0, \)

gdzie symbol \( \Phi_1 \) oznacza pochodną cząstkową funkcji \( \Phi \) względem pierwszego argumentu.

Przekonaliśmy się więc, że dowolna gładka funkcja postaci ( 5 ) rzeczywiście spełnia równanie ( 4 ).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Przykład 1:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie: